Section: New Results

Théorie spectrale max-plus et géométrie métrique/Max-plus spectral theory and metric geometry

Introduction

Participants : Marianne Akian, Stéphane Gaubert, Cormac Walsh.

Étant donné un noyau $a:S\times S\to ℝ\cup \{-\infty \}$, on peut lui associer le problème spectral max-plus

dans lequel on cherche le vecteur propre $u:S\to ℝ\cup \{-\infty \}$ et la valeur propre correspondante $\lambda \in ℝ\cup \{-\infty \}$. Comme nous l'avons rappelé dans les § 3.2 et 3.3 , le problème spectral (9 ) intervient en contrôle ergodique: l'ensemble $S$ est l'espace des états, et l'application $a(x,y)$ fournit le gain associé à la transition $x\to y$. Le cas où $S$ est fini est classique, l'on a alors un résultat précis de représentation de l'espace propre, à l'aide d'un certain graphe, dit graphe critique. Des résultats existent également lorsque $S$ est compact et que le noyau vérifie certaines propriétés de régularité.

Dans  [79] , nous avons considéré le cas où $S$ est non compact. Lorsque $\lambda =0$, l'espace propre est analogue à l'espace des fonctions harmoniques défini en théorie (classique ou probabiliste) du potentiel. En introduisant l'analogue max-plus de la frontière de Martin, nous avons obtenu un analogue de la formule de représentation de Poisson des fonctions harmoniques : toute solution $u$ de (9 ) peut être représentée sous la forme :

où ${ℳ}_m\subset {(ℝ\cup \{-\infty \})}^S$ est l'analogue max-plus de la frontière de Martin minimale (l'ensemble des fonctions harmoniques extrémales normalisées), et où ${\mu }_u$ joue le rôle de la mesure spectrale. Nous avons montré aussi que les éléments de l'espace de Martin minimal peuvent être caractérisés comme les limites de “quasi-géodésiques”. La frontière de Martin max-plus généralise dans une certaine mesure la frontière d'un espace métrique construite à partir des horo-fonctions (fonctions de Busemann généralisées), ou horo-frontière. Ces résultats inspirent les travaux des sections suivantes, qui portent sur des cas remarquables d'espaces métriques (§ 6.1.4 ) ou sur des applications en théorie des jeux (§ 6.1.2 ).

English version

Let the kernel $a:S\times S\to ℝ\cup \{-\infty \}$ be given. One may associate the max-plus spectral equation (9 ), where the eigenvector $u:S\to ℝ\cup \{-\infty \}$ and the eigenvalue $\lambda \in ℝ\cup \{-\infty \}$ are unknown. As we recalled in § 3.2 and refmonotone, this spectral problem arises in ergodic optimal control: the set $S$ is the state space, and the map $a(x,y)$ is the transition reward. The case when $S$ is finite is classical, a precise spectral theorem is known, with a characterisation of the eigenspace in terms of a critical graph. Some results have been shown when $S$ is compact, assuming that the kernel $a$ satisfies some regularity properties.

In  [79] , we considered the case where $S$ is non-compact. When $\lambda =0$, the eigenspace is analoguous to the set of harmonic functions defined in classical or probabilistic potential theory. By introducing a max-plus analogue of the classical Martin boundary, we obtained an analogue of the Poisson representation of harmonic functions, showing that any solution $u$ of (9 ) may be represented as in (10 ) where ${ℳ}_m\subset {(ℝ\cup \{-\infty \})}^S$ is a max-plus analogue of the minimal Martin boundary (the set of normalised extremal harmonic functions), and ${\mu }_u$ plays the role of the spectral measure. We also showed that the elements of the minimal Martin boundary can be characterised as limits of certain “almost-geodesics”. The max-plus Martin boundary generalises to some extent the boundary of metric spaces defined in terms of horofunctions (generalised Busemann functions), or horoboundary. These results have inspired the work of the next sections, which deal either with remarkable examples of metric spaces (§ 6.1.4 ) or applications to zero-sum games (§ 6.1.2 ).

Une caractérisation maximin du taux de fuite d'applications nonexpansives/A maximin characterization of the escape rate of nonexpansive mappings

Participants : Stéphane Gaubert, Guillaume Vigeral.

Le problème de l'existence du gain moyen par unité de temps pour des jeux répétés à somme nulle conduit à étudier la limite $f^k\left(v\right)/k$ lorsque l'horizon $k$ tend vers l'infini, où $f$ (l'opérateur de programmation dynamique) est une application contractante au sens large sur un espace de Banach, voir § 3.3 . La limite peut ne pas exister, mais un résultat de Kohlberg et Neyman montre qu'il existe toujours une forme linéaire $\phi$ de norme 1 telle que la limite de $\phi (f^k\left(x\right)/k)$ existe lorsque $k\to \infty$ et coïncide avec le “taux de fuite” ${lim}_{k\to \infty }\parallel f^k\left(x\right)/k\parallel$. Dans [29] , nous avons généralisé ce résultat au cas où $f$ est une application nonexpansive (contractante au sens large) sur un espace métrique vérifiant une forme affaiblie de l'hypothèse de courbure nonpositive au sens de Busemann. La forme linéaire $\phi$ est alors remplacée par une horofonction, et l'on obtient une caractérisation de type “maximin” du taux de fuite, qui étend la formule de Collatz-Wielandt en théorie de Perron-Frobenius (le vecteur propre apparaissant dans cette formule correspond à une famille d'horoboules invariantes par la dynamique). Ceci est motivé par les problèmes de contrôle ou de jeux quadratiques, dans lesquels l'espace métrique est le cône des matrices définies positives muni de sa métrique Riemanienne invariante ou de la métrique de Thompson.

English version

The problem of the existence of the mean payoff per time unit for repeated games leads to studying the existence of the limit of $f^k\left(v\right)/k$, where $f$ is a nonexpansive map (the dynamic programming operator) acting on a Banach space, see § 3.3 for more background. The limit may not exist, but a result of Kohlberg et Neyman shows that there is always a norm one linear form $\phi$ such that the limit of $\phi (f^k\left(x\right)/k)$ exists and coincides with the limit of $\parallel f^k\left(x\right)/k\parallel$ as $k$ tends to infinity (the escape rate). In [29] , we extend this result to the case of a nonexpansive map defined on a metric space satisfying a mild form of Busemann nonpositive curvature condition. Then, the linear form $\phi$ is replaced by an horofonction, and we obtain a maximin type characterization of the escape rate, which extends the Collatz-Wielandt formula in Perron-Frobenius theory. This is motivated by the study of quadratic optimal control and game problems, in which the metric space is the cone of positive semi-definite matrices equipped with the Riemannian invariant metric or with Thompson metric.

Isométries de la géométrie de Hilbert/Isometries of the Hilbert geometry

Participants : Cormac Walsh, Bas Lemmens [Kent University, UK] .

L'un des intérêts de l'horo-frontière est de renseigner sur le groupe des isométries d'un espace métrique. En effet, ce groupe agit naturellement sur l'horo-frontière, et cette action peut parfois être mieux comprise que l'action du groupe sur l'espace d'origine.

Nous étudions le groupe des isométries pour la métrique de Hilbert. De La Harpe  [188] a donné plusieurs conjectures relatives à ce groupe. Nous conjecturons que le groupe des isométries est exactement le groupe des transformations linéaires projectives à moins que le domaine ne soit une coupe d'un cône symmétrique non-Lorentzien. Nous avons démontré cette conjecture lorsque le domaine est un polytope [32] .

Dans le cas général, on prouve, en utilisant les horo-fonctions, que si il existe une bijection entre deux cônes homogéne de degré $-1$, antitone, et d'inverse antitone, ces deux cônes sont symétriques. Nous essayons maintenant de montrer que toute isométrie de Hilbert sur un domaine convexe est la version projective d'un automorphisme linéaire du cône sur le domaine, ou d'une bijection du cône, homogéne de degré $-1$, qui est antitone et d'inverse antitone. Ce résultat pemettrait de compléter la preuve de la conjecture proposée plus haut.

English version

One use for the horofunction boundary is to study the group of isometries of a metric space. This is because this group has a well defined action on the horoboundary and it is likely that in many cases this action will be easier to understand than the action on the space itself.

We have been investigating the isometries of the Hilbert geometry. De La Harpe  [188] has previously made several conjectures about the isometry group of this space. We conjecture that the isometry group is exactly the group of projective linear transformations unless the domain on which the geometry is defined is a cross section of a non-Lorentzian symmetric cone. We have previously proved that this conjecture is true in the case of a polytope domain [32] .

In the general case, we can now prove, using horofunctions, that if a bijection between cones is homogeneous of degree $-1$, order inverting, and has an order inverting inverse, then both cones are symmetric. We are working on showing that every Hilbert isometry on a convex domain arises by considering projectively either a linear automorphism on the cone over the domain, or a homogeneous $-1$, order inverting bijection on this cone with order inverting inverse. Establishing this result would complete our proof of the above conjecture.

Espace de Teichmüller/Teichmüller space

Participant : Cormac Walsh.

L'espace de Teichmüller d'une surface est un espace métrique composé des structures conformes de cette surface. On peut le voir comme l'ensemble des classes d'équivalence des métriques riemanniennes de cette surface, où deux métriques sont équivalentes si il existe une application conforme homotope à l'identité qui envoie l'une des métriques sur l'autre.

Il existe plusieurs métriques naturelles sur l'espace de Teichmüller. Nous avons travaillé précédemment sur la métrique Lipschitz de Thurston et avons prouvé [70] que l'horo-frontière de cet espace métrique était la frontière de Thurston.

Néanmoins, la métrique la plus utilisées ur l'espace de Teichmüller est la métrique de Teichmüller. L'horo-frontière de cet espace métrique n'est autre que la frontière déja introduite dans la littérature sous le nom de frontière de Gardiner–Masur. Nous étudions cette frontière, en particulier nous donnons explicitement ses points de Busemann.

Par la suite, nous avons l'intention d'utiliser cette propriété afin d'étudier les sous-groupes du groupe modulaire, qui est le groupe des isométries de la métrique de Teichmüller.

English version

An interesting metric space is the Teichmüller space of a surface. This is the space of conformal structures on the surface. One may think of it as the space of equivalence classes of Riemannian metrics on the surface, where two such metrics are regarded as being equivalent if there is a conformal map on the surface taking one to the other that is homotopic to the identity.

There are several natural metrics on Teichmüller space. Previously, we have worked with Thurston's stretch metric and have shown [70] that the horofunction boundary with this metric is just the usual Thurston boundary.

However, the most commonly used metric on Teichmüller space is Teichmüller's metric. The horofunction boundary of this metric space turns out to be the same as a previously defined boundary, called the Gardiner–Masur boundary. We have been investigating this boundary, in particular we have managed to work out explicitly its Busemann points.

In future work, we intend to apply this knowledge to study subgroups of the mapping class group, which is the isometry group of the Teichmüller metric.